Logo

Глава 2. Средства обеспечения САПР

С начала 80-х годов 20 века, в связи с массовым производством и внедрением персональных компьютеров (ПК), идея системной автоматизации процесса проектирования становится практически осуществимой для проектных организаций любого масштаба: от крупного института до частного бюро. Понятие САПР, с одной стороны, упростилось и зачастую ассоциируется с той или иной компьютерной программой. С другой стороны, проектирование сложных технических объектов возможно лишь в рамках САПР как организационно-технической системы, в основе которой - весь потенциал информационных технологий.

Средства обеспечения САПР классифицируют как единство следующих компонентов: техническое, программное, математическое, методическое, информационное и организационное [26].

2.1. Техническое и программное обеспечение

Техническое обеспечение - это комплекс технических средств, с помощью которого осуществляют сбор, обработку, хранение, преобразование и передачу данных, связанных с объектом проектирования.

Основу технического обеспечения составляют средства вычислительной техники и, в первую очередь, это - персональный компьютер.

Стандартная конфигурация компьютера общеизвестна (см. рис. 2.1):

· системный блок, состоящий из процессора, оперативной памяти, блока питания, винчестера, других накопителей данных, портов подключения периферийных устройств;

· клавиатура для ввода информации;

· монитор для отображения информации;

· мышь для удобства диалога "человек-компьютер".

Рис. 2.1. Персональный компьютер стандартной конфигурации

Понятие периферийных устройств включает широкий перечень технических средств. В первую очередь, это средства сбора и обработки данных для проектирования. К ним можно отнести электронное геодезическое оборудование (тахеометры, системы спутниковой навигации, лазерные сканеры и пр.), которое или работает непосредственно под управлением компьютеров, или передает данные измерений в виде компьютерных файлов. Более подробная информация о технических средствах инженерных изысканий изложена в гл. 4.

Если исходная информация о проектируемой дороге представлена в виде планшетов топографических планов, то для преобразования информации из бумажного вида в электронный применяют сканеры (см. рис. 2.2, а). Сканеры бывают рулонные или планшетные. Точность сканирования последних существенно выше и может достигать 12000 dpi (dots per inch - точек на дюйм). Когда речь идет о проектировании сложных технических объектов, то применяют инженерные сканеры большого формата A0(A1).

Выходную графическую информацию об объекте проектирования (чертежи) печатают на плоттерах также большого формата. По способу подачи бумаги плоттеры как и сканеры, бывают рулонные (рис. 2.2, б) или планшетные. По способу нанесения красящего вещества – лазерные или струйные. Вопрос о том, каким должен быть инженерный чертеж, черно-белым или цветным, в последнее время однозначно решается в пользу цветного. Во-первых, в виду существенного прогресса в области цветной печати, которая стала незначительно дороже черно-белой. Во-вторых, цвет несет дополнительную информацию о проектируемом объекте и способствует повышению эффективности зрительного анализа таких чертежей.

SHAPE \* MERGEFORMAT

а)

б)

Рис. 2.2. а) Сканер рулонный; б) Плоттер рулонный

К периферийным устройствам компьютера также можно отнести аппараты цифрового фото и видео, которые в настоящее время широко применяются при сборе исходных данных для проектирования дорог.

Для организации коллективной работы над проектом и оперативного обмена информацией компьютеры объединяют в локальные (интранет) и глобальные (интернет) сети, техническими компонентами которых являются серверы, сетевые плата, модемы, оптоволоконные сети и пр.

Программное обеспечение САПР подразделяют на общесистемное и прикладное.

К общесистемному программному обеспечению относят, в первую очередь, операционные системы (ОС), которые управляют всеми процессами, происходящими в компьютерах. Появление и эволюция ОС происходила параллельно с развитием самих компьютеров. Если создание первого персонального компьютера ассоциируют с фирмой IBM (www.ibm.com), то первая массовая ОС появилась для этого компьютера от фирмы Microsoft (www.microsoft.com) и называлась MS-DOS.

14-летний путь эволюции (с 1981 по 1995 г.г.) MS-DOS версий 1.0-7.0 способствовал внедрению компьютеров от решения узких инженерных задач до повсеместного их применения во всех сферах жизни.

С начала 90-х годов на смену MS-DOS приходит Windows (от англ. – окна) также от фирмы Microsoft, которая позволяет одновременно работать с несколькими программами (окнами), с легкостью переключаясь между ними без необходимости закрывать и перезапускать отдельные программы. На начальном этапе развития Windows выполняла роль графического интерфейса для MS-DOS.

С выходом Windows 3.1 (1992 г.) эта операционная система ассоциируется как самостоятельная, способная работать с оперативной памятью более 640 кб, с масштабируемыми шрифтами TrueType.

Выпуск в 1993 г. Windows NT (сокращение от New Technology – новая технология) был хорошо принят разработчиками благодаря ее повышенной защищенности, стабильности и развитому API-интерфейсу Win32, упрощающему составление мощных программ.

В 1995 г. выходит Windows 95 – самая дружественная пользователю версия Windows, для инсталляции которой не требуется предварительно устанавливать DOS; ее появление делает ПК более доступным массовому потребителю. В Windows 95 имеются встроенный набор протоколов TCP/IP и допускается использование длинных имен файлов.

Windows 98 (1998 г.) – последняя версия Windows на базе старого ядра, функционирующего на фундаменте DOS. Система Windows 98 интегрирована с браузером Internet Explorer 4 и совместима с многочисленными новыми аппаратными стандартами, в том числе USB-портами. Последующие версии Windows разрабатывались на базе ядра NT.

В настоящее время (с 2001 г.) большинство прикладных программ, в том числе САПР, функционирует под управлением операционной системы MS Windows XP (от англ. eXPerience – опыт).

Новый проблемно-ориентированный интерфейс MS Windows XP позволяет в кратчайшие сроки освоить принципы работы с операционной системой даже тем пользователям, которые ранее никогда не сталкивались с системами семейства Windows. Применяемые в Windows XP расширенные web-технологии открывают возможность обмена текстовыми и голосовыми сообщениями, создания web-проектов различного уровня сложности и совместного использования приложений не только в локальной сети, но и в Интернете.

К условно общесистемному программному обеспечению можно отнести MS Office, ряд приложений которого (текстовый редактор Word, электронные таблицы Excel) стали де-факто стандартами в своем классе программ. Практически все САПР, формирующие в качестве выходных данных текстовые документы, осуществляют это в среде MS Word, а табличные формы – в среде MS Excel.

К прикладным программам, помимо самих САПР, можно отнести: векторизаторы; программы обработки геодезических данных, данных дистанционного зондирования; системы управлениями базами данных (СУБД); системы управления проектно-конструкторской документацией (СУПКД) и др.

Последние из перечисленных (СУПКД) являются исключительно важными в работе проектных организаций, поскольку в значительной степени обеспечивают функционирование систем контроля качества при производстве проектной продукции.

Из множества программ этого класса наиболее полнофункциональной системой является Party PLUS (разработчик – компания Лоция Софт, Москва, www.lotsia.com).

Party PLUS является профессиональной системой, построенной в архитектуре "клиент-сервер" на базе СУБД типа Oracle, MS SQL-Server, Sybase и отличающейся надежностью, производительностью, масштабируемостью и защищенностью.

Рис. 2.3. Система управления документацией Party PLUS

Система содержит защищенный архив документов, а также встроенные средства свободной и предопределенной маршрутизации документов, работ и управления бизнес-процессами. Система поддерживает режим параллельной коллективной работы различных групп пользователей и обеспечивает управление всей относящейся к проекту информацией, что позволяет сотрудникам проектной организации не только получать доступ к описанию проекта, но и управлять информацией об этом проекте.

Если на предприятии несколько территориально распределенных проектных отделов, то с помощью Party PLUS можно организовать отлаженное взаимодействие удаленных подразделений при работе над несколькими проектами.

Party PLUS обладает функцией ведения истории всех инженерных изменений в структуре проекта, возможностью сравнения текущего состояния с состоянием на любую дату. Имеются средства поддержки многовариантного проектирования с хранением вариантов, не вошедших в основной проект, средства поддержки работы с версиями документов. Имеется возможность задавать для элемента проекта аналоги или родственные элементы, группировать элементы по различным критериям.

Система Party PLUS универсальна, максимально гибка для решения задач в различных отраслях инженерной деятельности, включая дорожную отрасль, и ориентирована на равноправную работу с различными САПР.

2.2. Математическое и методическое обеспечение

Математическое обеспечение – это совокупность аналитических и численных методов, математических моделей и алгоритмов выполнения проектных процедур. Применение тех или иных методов зависит от уровня развития САПР, свойств объектов проектирования и характера решаемых задач.

На начальном этапе развития САПР осуществлялась алгоритмизация ручных методов проектирования. Это способствовало сокращению времени проектирования, но качество проектных решений при этом практически не улучшалось.

Первые работы в области оптимизации проектных решений начались в 70-е годы и были связаны, в первую очередь, с проектированием продольного профиля. Работы Е. Л. Фильштейна и его метод "граничных итераций", В. И. Струченкова и его метод "проекции градиента" устанавливали положение проектной линии продольного профиля с учетом минимизации объемов земляных работ. Уже на этом этапе пришлось отказаться от представления проектной линии в виде последовательности прямых и дуг окружностей, а перейти на модель проектной линии в виде ломаной (линейного сплайна). Однако эти методы не затрагивали общих (базовых) принципов изысканий и проектирования автомобильных дорог.

Переход в 90-е годы на системную автоматизацию дорожного проектирования на основе цифровых моделей местности привел к существенному изменению всей технологии проектно-изыскательских работ.

В период "ручного" проектирования автомобильных дорог геодезические изыскания выполнялись "пикетным" методом. Суть этого метода заключается в следующих этапах работ [16]:

· Полевое трассирование автомобильной дороги. При этом тангенциальный ход трассы является одновременно и магистральным ходом для всех последующих разбивочных работ, как на стадии изысканий, так и на стадии строительства.

· Планово-высотное закрепление трассы притрассовыми реперами и угловыми столбами.

· Разбивка пикетажа по трассе. Разбиваются и закрепляются не только пикетные точки, но и плюсовые (характерные) точки, связанные с изломами рельефа, пересечением водных потоков, инженерных коммуникаций и дорог.

· Двойное продольное геометрическое нивелирование трассы по принятому пикетажу.

· Съемка поперечников. При разбивке пикетажа по трассе одновременно осуществляют разбивку поперечников на всех пикетных и плюсовых точках. На прямолинейных участках трассы поперечники разбивают перпендикулярно к оси дороги, а на криволинейных участках – перпендикулярно касательной к трассе. Длину поперечника принимают такой, чтобы в его пределах разместились земляное полотно со всеми его конструктивными элементами.

Съемку поперечников осуществляют для построения продольного и поперечных профилей по принятой трассе для последующего проектирования земляного полотна, организации системы поверхностного водоотвода, подсчета объемов земляных работ и подготовки проектной документации.

Как следует из вышеприведенного, при "пикетном" методе изысканий изменение положения трассы и, следовательно, всех остальных проекций на проектной стадии не возможно. Таким образом, творческое начало проектной деятельности при этом методе ограничено ввиду предопределенности положения трассы дороги, что существенно сказывается на качестве конечных проектных решений. Заметим также, что в полевых условиях трассирования, в отсутствии компьютерной техники, инженер-изыскатель ограничивался элементарной схемой закругления трассы типа "клотоида- круговая кривая-клотоида", разбивку которой можно было произвести по соответствующим разбивочным таблицам.

Совершенно другую перспективу открывает "беспикетный" метод изысканий дорог, приоритетное применение которого стало возможным благодаря достижениям электронной тахеометрии и вычислительной техники.

Изыскания по этому методу состоят в следующем:

· В полосе возможных проектных решений, определенной на предпроектной стадии, закладывается и закрепляется магистральный ход (сеть ходов).

· Осуществляется тахеометрическая съемка полосы варьирования. При этом обеспечивается высокая производительность работ, поскольку все измерения, необходимые для определения пространственных координат съемочных точек местности, выполняют комплексно с использованием одного геодезического прибора – тахеометра.

· С электронного тахеометра в компьютер считывается цифровая модель местности, которая является основой для всех последующих проектных процедур.

Заметим, что при "беспикетном" методе изысканий местоположение трассы определяется ни на стадии изысканий, а на стадии проектирования (в камеральных условиях). Это дает возможность варьировать местоположением трассы практически на любом этапе проектирования, применять для установления местоположения трассы и ее описания самые современные математические методы, в том числе и оптимизационные.

Учитывая трехмерную природу ЦММ и порождаемых ею поверхностей, появляется уникальная возможность пространственного трассирования дорог. В настоящее время методология и алгоритмы пространственного трассирования успешно разрабатываются в рамках САПР и скоро должны пополнить арсенал передовых технологий для дорожной проектной практики.

Из множества методов вычислительной математики, ставших доступными в условиях системной автоматизации проектных работ, остановимся на сплайнах и кривых Безье, применяемых при автоматизированном трассировании дорог в плане и продольном профиле.

Интерполяционные сплайны. Как известно, термин "сплайн" происходит от названия чертежного инструмента – тонкой металлической или деревянной линейки, которая изгибается так, чтобы проходить через заданные точки (xi, yi = f(xi)).

Тогда сплайн в положении равновесия принимает форму, которая минимизирует его потенциальную энергию. И в теории балок установлено, что эта энергия пропорциональна интегралу по длине дуги от квадрата кривизны сплайна:

(2.1)

при условиях S(xi) = yi.

Рис. 2.4. Очертания сплайна как математического аналога линейки

Сплайны можно определить 2-мя способами: исходя из взаимного согласования простых функций и из решения задачи минимизации [].

К сплайнам, определяемым по первому способу, можно отнести интерполяционные сплайны, которые необходимы для аналитического представления дискретно заданной информации.

Сглаживающие сплайны определяют чаще всего на основе 2-го способа. Именно сглаживающие сплайны должны найти самое широкое применение для оптимизации тех проектных решений, которые на начальной стадии рассмотрения носят, как правило, приближенный характер.

В проектной практике применяют, как правило, сплайны 1-й и 3-й степени. Сплайны 1-й степени (линейные) служат, во-первых, хорошей и доступной иллюстрацией к пониманию процессов построения сплайновых алгоритмов, во-вторых, достаточны для описания геометрических элементов дорог, представляемых в виде ломаных линий (магистральные и тангенциальные ходы, продольные и поперечные профили земли и т.д.).

Сплайны 1-й степени. Сплайны 1-й степени (ломаные) достаточно просты для понимания и, в то же, время, отражают основные свойства сплайн-функций. С математической точки зрения, сплайн 1-й степени – это кусочно-непрерывная функция, на каждом отрезке описываемая уравнением вида:

y = ai + bix, (2.2)

где i – номер рассматриваемого интервала между узлами интерполяции xi и xi+1.

Как видно из формулы (2.2), на элементарном интервале вид уравнения не отличается от общепринятого выражения прямой. В целом, уравнение ломаной (сплайна 1-й степени) в матричной форме можно записать как:

(2.3)

Эта система линейных уравнений не требует совместного решения и распадается на решения каждого уравнения в отдельности. Сплайн, решение которого связано с вычислением подсистем небольшой размерности, в данном случае – уравнений первого порядка, будем называть локальным.

Интерполяционный сплайн 1-й степени – это ломаная, проходящая через точки (xi, yi). Для совокупности xi (i = 0, 1,…, n) в интервале [a, b] при этом должно выполняться условие xi < xi+1.

Используя полином Лагранжа, можно построить сплайн для интервала i(i+1):

(2.4)

Обозначение S1(x) будем понимать как сплайн-функцию первой степени. Иначе уравнение (2.4) можно записать:

(2.5)

Если принять о форма уравнений (2.2) и (2.5) совпадает. Для построения алгоритма и составления процедуры построения и вычисления сплайна необходимо помнить всего лишь 2n+2 числа.

Сплайны 3-й степени. Сплайны 3-й степени (кубические) – это кусочно-непрерывная (непрерывность 1-й и 2-й производных) функция, состоящая из отрезков кубических парабол.

В настоящее время существует множество алгоритмов построения и расчета на ЭВМ кубических сплайнов, что обусловлено широким их использованием в решении технических задач, связанных с интерполяцией кривых и поверхностей.

При решении поставленной задачи между n узлами находятся n–1 фрагментов кубических кривых, а кубическая кривая, в свою очередь, определяется 4-мя параметрами. Поскольку значение функции и 1-й, 2-й производных (Xs, X¢s, X²s) непрерывны во всех (n–2)-х внутренних узлах, то имеем 3(n–2) условий. В узлах Xsi = Xi накладываются еще n условий на Xs. Отсюда получаем 4n–6 условий. Для однозначного определения сплайна необходимо еще два условия, которые обычно связываются с так называемыми краевыми (граничными) условиями. Например, зачастую принимается просто . В этом случае получаем необходимое количество условий для определения естественного сплайна в виде:

(2.6)

Недостатком этого сплайна является то, что у него нет возможности изменения формы на участке между двумя жестко закрепленными интерполяционными точками. Лишь перемещением одной из точек интерполяции можно добиться некоторого изменения формы сплайн-кривой. При этом, в силу того, что кубический интерполяционный сплайн относится к нелокальным методам аппроксимации, его значения в точках, не совпадающих с узлами сетки Δ: a = x0<…<xN = b, зависят от всей совокупности величин fi = f(xi), i = 0, 1 ,…, N, и еще от значений краевых условий в точках a, b; следовательно, желательный эффект изменения формы сплайн-кривой в одном месте интервала интерполяции может перекрываться нежелательными изменениями на всем остальном отрезке.

Однако методы борьбы с этим неприятным явлением известны. Это, во-первых, применение локальных интерполяций эрмитового типа, для которых значение сплайна на промежутке между узлами сетки зависит от значений функции и ее производных только из некоторой окрестности этого промежутка.

Во-вторых, интерполяция на основе рациональных сплайнов [8]. Сохраняя одно из важнейших свойств кубической сплайн-интерполяции – простоту и эффективность реализации на ЭВМ – рациональные сплайны обладают возможностью приближения функций с большими градиентами или точками излома, при этом устраняя осцилляции, присущие обычному кубическому сплайну.

Рациональной сплайн-функцией называют функцию S(x), которая на каждом промежутке интерполяции [xi, xi+1] записывается в виде

(2.7)

где t = (x-xi)/hi, hi = xi+1-xi, pi, qi – заданные числа, -1 < pi, qi < ∞; и при этом непрерывна вместе со своими первой и второй производными.

Из выражения (2.7) видно, что при pi = qi = 0, i = 0, 1,…, N–1, рациональный сплайн превращается в обычный кубический сплайн. Кроме того, можно считать, что сплайн первой степени также является частным случаем кубического сплайна, поскольку при всех pi, qi–>∞, i = 0, 1,…, N–1, справедливо S(x)–>fi(1t)+fi+1t, xÎ[xi, xi+1].

Таким образом, можно ожидать, что при использовании рациональных сплайнов путем надлежащего выбора свободных параметров pi, qi достигается высокая точность приближения на участках достаточной гладкости интерполируемой функции, а на участках с большими градиентами удовлетворяются требования качественного характера – выпуклости и монотонности.

Использование рациональной сплайн-функции позволяет описать единообразной зависимостью трассу с максимальным приближением к трассе, заданной традиционными элементами. Варьируя значениями коэффициентов pi и qi, имеется возможность полной имитации сплайн-функцией традиционных элементов плана трассы (прямой, круговой кривой, клотоиды).

"Слабым" местом в обосновании интерполяционных сплайнов как универсального математического аппарата при трассировании автомобильных дорог является допущение (условие), что узлы интерполяции назначены проектировщиком верно и при вычислении значений самого сплайна корректировке не подлежат.

Проанализируем, как на практике назначают местоположение узлов?

Если трассирование выполняется на основе карты или топографического плана, то проводится эскизная линия дороги, которая, по мнению проектировщика, является наиболее целесообразной при заданных условиях, "от руки" или с помощью механических приспособлений. Далее на эскизной линии фиксируются узлы интерполяции и замеряются их координаты. При этом не существует строго формализованных алгоритмов назначения местоположения узлов, есть лишь ряд практических советов. В частности: частое расположение узлов приводит к осцилляции кривизны такого сплайна ввиду неизбежной погрешности съемки координат узлов интерполяции; редкое их расположение вызывает существенные отклонения сплайн-трассы от порождающей ее эскизной линии.

Если трассирование выполняется по материалам полевых изысканий, то узлами сплайн-интерполяции, в этом случае, являются съемочные точки цифровой модели местности и погрешность в установлении их координат еще более очевидна ввиду наличия ошибок случайного и систематического характера.

Хорошего приближения сплайн-трассы к эскизному варианту и, в то же время, достаточной ее гладкости (плавности) можно добиться, как правило, лишь при многократной интуитивной корректировке проектировщиком узлов интерполяции.

Отсюда следует, что интерполяционные сплайны не являются математическим аппаратом оптимального трассирования, а лишь удобным и во многих задачах чрезвычайно эффективным инструментарием компьютерной обработки эскизно назначенных проектных решений. Качество таких решений существенно зависит от квалификации проектировщика.

Из вышеприведенных рассуждений вытекает, что постановка задачи трассирования на основе сплайнов должна предполагать следующее: узлы интерполяции эскизной трассы, а в случае реконструкции – исходной трассы, назначаются приближенно (с допуском) и точное их местоположение вычисляется по определенным закономерностям, учитывающим ряд основополагающих целевых установок самого процесса трассирования. В математической терминологии эту задачу можно отнести к задачам генерации геометрических форм по их грубым (приближенным) описаниям или задачам сглаживания.

Сглаживающие сплайны. В качестве математического аппарата для решения задачи трассирования дорог применяют сглаживающие сплайны, которые минимизируют функционал вида:

(2.8)

при ограничениях, например,

, (2.9)

(2.10)

В записи функционала q = 1, 2; S(xi) – сплайн; ri – вeсовой коэффициент узла интерполяции; f0(xi) – функция начального приближения.

Ограничения могут быть самыми разными и в случае трассирования дорог это: ограничения по допустимому радиусу, направлению трассы в плане и уклону в продольном профиле и т. п. При этом для сплайнов третьей степени должны быть добавлены так называемые "краевые условия" в точках x0 = a, xn = b, обеспечивающие единственность построения сплайна. Например, это могут быть условия заданного начального и конечного направления проектируемого участка трассы S¢(xa), S¢(xb).

Из формы записи совместных условий (2.8) – (2.10) следует, что это – задача условной оптимизации.

Условие (2.9) позволяет смещать узлы интерполяции в установленном коридоре варьирования по заданному алгоритму. Признаком завершения итерационного процесса оптимизации служит выполнение условия (2.10) и означает, что на каждом дальнейшем итерационном шаге сдвиг любого из узлов не превысит величины d.

Если в условии (2.9) ei = 0, то вновь приходим к понятию интерполяционных сплайнов. Отсюда становится очевидным, что интерполяционные сплайны являются всего лишь частным случаем сглаживающих сплайнов.

Выбор сглаживающих сплайнов для дальнейшего подробного рассмотрения только в виде алгебраических полиномов и только 1-й и 3-й степени из всего многообразия обусловлен тем, что это наиболее простые в компьютерной реализации сплайны и, в то же время, имеют достаточные аппроксимативные свойства для описаний очертаний трассы и ее дифференциального анализа. В случае сплайнов 1-й степени этот анализ (1-е и 2-е производные) можно выполнить в виде разделенных разностей, а для сплайнов 3-й степени – непосредственным дифференцированием функции.

Функционал (2.8) хорошо моделирует задачу трассирования дорог при их реконструкции, которая состоит в том, чтобы добиться минимального отклонения проектируемой трассы от существующей, при одновременном условии по уклону и кривизне в продольном профиле, и по кривизне и скорости нарастания кривизны в плане согласно требованиям СНиП для данной категории дороги. Минимальное отклонение достигается за счет второго слагаемого, а условия по кривизне и уклону – первого слагаемого функционала (2.8).

При совместной минимизации двух слагаемых соотношение между ними регулируется весовыми коэффициентами ri, которые должны быть определенным образом нормированы.

Рассмотрим оптимизационные возможности функционала (2.8) в порядке возрастания его сложности.

Второе слагаемое функционала

(2.11)

известно как метод наименьших квадратов, и оно представляет собой функцию n+1-ой переменной S(xi), i = 0, 1,…, n. Минимизация последней распадается в данном случае на минимизацию отдельных слагаемых независимо по каждой переменной.

В случае применения сплайнов 1-й степени первое слагаемое функционала (2.8) будет записано, как

. (2.12)

Рассмотрим линейное приближение функционала длины дуги кривой

(2.13)

(здесь предполагается, что |S`(x)| мало). Очевидно, что решение задачи о минимизации функционала (2.13) совпадает с решением линеаризованной задачи об отыскании элемента минимальной длины. Полученное решение часто называют сплайном в выпуклом множестве.

После подстановки первой производной сплайна, совпадающей в данном случае с разделенной разностью, примет вид

(2.14)

где hi= xi+1xi.

Продифференцируем по переменной S(xi) и сложим два последовательных слагаемых уравнения, содержащих эту неизвестную:

(2.15)

(2.16)

Приравняв полученную сумму нулю и выразив неизвестное S(xi), получим

(2.17)

Здесь знак "=" представляет собой оператор присваивания. Если принять шаг интерполяции равномерным, то есть hi=const, то процесс оптимизации (пошаговых итераций) в графической интерпретации будет вполне понятен (рис. 3. 10).

Быстрая сходимость итерационного процесса позволяет рекомендовать этот метод для предварительной выработки проектных решений по проектной линии продольного профиля. В этом случае радиус кривизны и уклон проектной линии можно контролировать посредством построения первых и вторых разделенных разностей.

Рис. 2.5. Графическая интерпретация сглаживания линейного сплайна

Совместное рассмотрение суммы функционалов (2.12) и (2.14) дает нам рекуррентную формулу для оптимизации:

(2.18)

Сходимость итерационного процесса здесь, по сравнению с формулой (2.17), ниже и существенно зависит от величины ri. Весовой коэффициент ri позволяет замедлять или ускорять итерационный процесс в отдельных точках (узлах) и может, например для проектной линии, служить средством учета объема или стоимости возведения земляного полотна (дорожных работ) на участке единичной длины.

Рассмотрим первое слагаемое функционала (2.8) применительно к кубическим сплайнам:

. (2.19)

Аналогично, решение задачи о сплайне в выпуклом множестве описывает (в линеаризованной постановке) положение, занимаемое упругой рейкой в коридоре ограничений. При замене второй производной второй разделенной разностью данный функционал примет вид:

(2.20)

где S¢(xa), S¢(xb) – одни из возможных краевых условий кубического сплайна. Применительно к проектной линии – это уклон в начальной (xa) и конечной (xb) точках проектируемого участка дороги.

Дифференцирование и суммирование уравнений даст нам соответствующие рекуррентные формулы, которые подробно приведены в специальной литературе [6].

Проектирование закруглений дороги в плане по классической схеме "клотоида – круговая кривая – клотоида" достаточно обоснованно с теоретических позиций, но на практике такая схема имеет множество изъянов и неудобств. Не вдаваясь в их суть, заметим, что если применить какую-либо функцию, которая могла бы одна в какой-то мере моделировать классическую схему (составную кривую), то с позиций удобства алгоритмизации и организации диалога "инженер-компьютер" это было бы достаточно эффективно.

В качестве таких функций далее рассматривается подмножество параметрических сплайнов – кривые Безье.

Кривые Безье. В 1970 г. Пьер Безье (французский математик) подобрал составляющие параметрического кубического многочлена таким образом, что их физический смысл стал очень наглядным и весьма подходящим для решения многих прикладных задач, в том числе и для целей проектирования дорог по принципу "тангенциального трассирования".

Формула Безье для кубического многочлена (n = 3) имеет следующий вид.

Пусть ri = , i = 0, 1, 2, 3, тогда для 0t1:

или в матричной форме:

.

Матрица M называется базисной матрицей кубической кривой Безье.

Кривая, представленная в форме Безье, проходит через точки r0 и r3, имеет касательную в точке r0, направленную от r0 к r1, и касательную в точке r3, направленную от r2 к r3.

Прямые Р0Р1, Р1Р2 и Р2Р3 образуют фигуру, называемую характеристической (определяющей) ломаной, которая и предопределяет очертания кривой Безье (рис. 2.6).

Чтобы построить кривую, задают точки Р0 и Р3, через которые должна проходить кривая, затем на желаемых касательных к этой кривой в точках Р0 и Р3 задают точки Р1 и Р2. Изменяя длины отрезков Р0Р1 и Р2Р3 варьируют очертаниями кривой, придавая ей желаемую форму.

Рис. 2.6. Сегмент кубической кривой Безье

Главной контролируемой величиной при проектировании кривых в плане является радиус кривизны. Для того, чтобы вычислять радиус кривизны в каждой точке кривой, необходимо знать значения первой и второй производных радиуса-вектора точки. Для кубической кривой Безье первая и вторая производные вычисляют по нижеприведенным формулам:

,

.

Тогда кривизна (величина, обратная радиусу кривизны) вычисляется по формуле:

.

Помимо кривой Безье 3-го порядка (кубической) для целей трассирования дорог возможно применение также кривых Безье 2-го, 4-го и 5-го порядков. Соответствующие формулы для вычисления радиусов-векторов (и их производных) для этих кривых приведены ниже.

Кривая Безье 2-го порядка:

.

Кривая Безье 4-го порядка:

.

Кривая Безье 5-го порядка:

.

Объединением элементарных кривых Безье γ(1), γ(2),…, γ(l), у которых концевая точка кривой γ(i), i = 1, 2,…, l1, совпадает с начальной точкой кривой γ(i+1), получается составная кривая Безье. Если каждая кривая γ(i) задается параметрическим уравнением вида

r = r(i) (t), 0 ≤ t1,

то это условие записывается так:

r(i) (1) = r(i+1) (0), i = 1, 2,…, l–1.

В частности, для того, чтобы касательная составной кривой Безье, определяемой набором точек P0, P1, …, Pm, изменялась непрерывно вдоль этой кривой, необходимо, чтобы тройки вершин P3i-1, P3i, P3i+1 (i ≥ 1) были коллинеарными, то есть лежали на одной прямой (см. рис. 2.7).

Рис. 2.7. Составная кубическая кривая Безье

Пространственные кривые Безье. Выше, в рассуждениях о Безье-кривых понималось плоское расположение опорных точек трассы и, соответственно, рассматривалось представление только плоских кривых. В общем случае опорные точки характеристической ломаной Безье задаются точками трехмерного пространства Pi(xi, yi, zi), i = 0, 1 ,…, m.

Тогда пространственная кривая Безье степени m определяется уравнением, имеющим следующий вид:

где – многочлены Бернштейна.

Матричная запись параметрических уравнений, описывающих пространственную кривую Безье, имеет вид:

0t1,

где

Более подробное изложение пространственного трассирования дорог приведено в гл. 5.

Методическое обеспечение – совокупность методических материалов, способствующих функционированию САПР.

Профессиональные САПР имеют, как правило, методическое сопровождение в виде "Справочных руководств" в бумажном виде. Главное меню таких систем также содержит раздел Справка (Помощь), в котором представлено описание основных проектных процедур.

В процессе эксплуатации САПР накапливается опыт рациональной выработки проектных решений на основе всей совокупности инструментальных средств системы. Этот опыт, как правило, излагается в форме "Практических руководств (пособий)" и способствует повышению эффективности и качества инженерного труда.

2.3. Информационное и организационное обеспечение

Информационное обеспечение – это совокупность средств и методов построения информационной базы для целей проектирования.

В состав информационного обеспечения входят: государственные стандарты (ГОСТ), строительные нормы (СН), строительные нормы и правила (СНиП), ведомственные строительные нормы (ВСН), типовые проектные решения по сооружениям и элементам автомобильных дорог. Все вышеперечисленные нормативно-информационные материалы существуют в бумажном виде или в виде электронных аналогов.

Другая часть информационного обеспечения существует только в электронном виде и является неотъемлемой частью САПР. Это библиотеки условных знаков (см. рис. 2.8), классификаторы и коды, шаблоны типовых элементов в составе графических алгоритмов.

Рис. 2.8. Библиотечный условный знак для топографического плана

В процессе проектирования используется также информация регионального характера. К ней относятся сведения метеорологического и экологического характера, данные о рельефе и геологическом строении местности, сведения о местоположении карьеров грунтов и каменных материалов и др.

По другой классификации информацию можно подразделить на входную, промежуточную и выходную. Входная - совокупность исходных данных, необходимых для принятия проектного решения. Промежуточная - полученная ранее в результате решения одних задач и используемая для решения других, но не окончательные результаты решения задач. Выходная - полученная как результат решения задач и предназначенная для непосредственного использования в проектировании.

Организационное обеспечение представляет собой совокупность организационных и технических мероприятий, направленных на повышение эффективности функционирования САПР. К ним относятся: изменение организационной структуры проектной организации, ее отделов и подразделений; перераспределение функций между отделами; изменение технологии проектно-изыскательских работ и кадров состава сотрудников, повышение квалификации проектировщиков в сфере САПР, организация и функционирование систем управления качеством проектной продукции на основе международных стандартов ISO 9001:2000.