Содержание материала

 

2.        Математическое и методическое обеспечение

 

Математическое обеспечение – это совокупность аналитических и численных методов, математических моделей  и алгоритмов выполнения проектных процедур. Применение тех или иных методов зависит от уровня развития САПР, свойств объектов проектирования и характера решаемых задач.

 

На начальном этапе развития САПР осуществлялась алгоритмизация ручных методов проектирования. Это способствовало сокращению времени проектирования, но качество проектных решений при этом практически не улучшалось.

 

Первые работы в области оптимизации проектных решений начались в 70-е годы и были связаны, в первую очередь, с проектированием продольного профиля. Работы Е.Л.Фильштейна и его метод "граничных итераций", В.И.Струченкова и его метод "проекции градиента" устанавливали положение проектной линии продольного профиля с учетом минимизации объемов земляных работ. Уже на этом этапе пришлось отказаться от представления проектной линии в виде последовательности прямых и дуг окружностей, а перейти  на модель проектной линии в виде ломаной (линейного сплайна). Однако эти  методы не затрагивали общих (базовых) принципов изысканий и проектирования автомобильных дорог.

 

Переход в 90-е годы  на системную автоматизацию дорожного проектирования на основе цифровых моделей местности привел к существенному изменению всей технологии проектно-изыскательских работ.

 

В период "ручного" проектирования автомобильных дорог геодезические изыскания выполнялись "пикетным" методом. Суть этого метода заключается в следующих этапах работ:

 

·     Полевое трассирование автомобильной дороги. При этом тангенциальный ход трассы является одновременно и магистральным ходом для всех последующих разбивочных работ, как на стадии изысканий, так и на стадии строительства.

 

·     Планово-высотное закрепление трассы притрассовыми реперами и угловыми столбами.

 

·     Разбивка пикетажа по трассе. Разбиваются и закрепляются не только пикетные точки, но и плюсовые (характерные) точки, связанные с изломами рельефа, пересечением водных потоков, инженерных коммуникаций и дорог.

 

·     Двойное продольное геометрическое нивелирование трассы по принятому пикетажу.

 

·     Съемка поперечников. При разбивке пикетажа по трассе одновременно осуществляют разбивку поперечников на всех пикетных и плюсовых точках. На прямолинейных участках трассы поперечники разбивают перпендикулярно к оси дороги, а на криволинейных участках – перпендикулярно касательной к трассе. Длину поперечника принимают такой, чтобы  в его пределах разместились земляное полотно со всеми его конструктивными элементами.

 

Съемку поперечников осуществляют для построения продольного и поперечных профилей по принятой трассе для последующего проектирования земляного полотна, организации системы поверхностного водоотвода, подсчета объемов земляных работ и подготовки проектной документации.

 

Как следует из вышеприведенного, при "пикетном" методе изысканий изменение положения трассы и, следовательно, всех остальных проекций на проектной стадии не возможно. Таким образом, творческое начало проектной деятельности при этом методе ограничено ввиду предопределенности положения трассы дороги,  что существенно сказывается на качестве конечных проектных решений. Заметим также, что в полевых условиях трассирования, в отсутствии компьютерной техники, инженер-изыскатель ограничивался элементарной схемой закругления трассы типа "клотоида- круговая кривая-клотоида", разбивку которой  можно было произвести по соответствующим разбивочным таблицам.

 

Совершенно другую перспективу открывает "беспикетный" метод изысканий дорог, приоритетное применение которого стало возможным благодаря достижениям электронной тахеометрии и вычислительной техники.

 

Изыскания по этому методу состоят в следующем:

 

·     В полосе возможных проектных решений, определенной на предпроектной стадии, закладывается и закрепляется магистральный ход (сеть ходов).

 

·     Осуществляется тахеометрическая съемка полосы варьирования. При этом обеспечивается высокая производительность работ, поскольку  все измерения, необходимые для определения пространственных координат съемочных точек местности, выполняют комплексно с использованием одного геодезического прибора – тахеометра.

 

·     С электронного тахеометра в компьютер считывается цифровая модель местности, которая является основой для всех последующих проектных процедур.

 

Заметим, что при "беспикетном" методе изысканий местоположение трассы определяется ни на стадии изысканий, а на стадии проектирования (в камеральных условиях). Это дает возможность варьировать местоположением трассы практически на любом этапе проектирования, применять для установления местоположения трассы и ее описания  самые современные математические методы, в том числе и оптимизационные.

 

Учитывая трехмерную природу ЦММ и порождаемых ею поверхностей, появляется уникальная возможность пространственного трассирования дорог. В настоящее время методология и алгоритмы пространственного трассирования успешно разрабатываются в рамках САПР и скоро должны пополнить арсенал передовых технологий для дорожной проектной практики.

 

Из множества методов вычислительной математики, ставших доступными в условиях системной автоматизации проектных работ, остановимся на сплайнах и кривых Безье, применяемых при автоматизированном трассировании дорог в плане и продольном профиле.

 

Интерполяционные сплайны.Как известно, термин "сплайн" происходит от названия чертежного инструмента – тонкой металлической или деревянной линейки, которая изгибается так, чтобы проходить через заданные точки (xi, yi = f(xi)).

 

Тогда сплайн в положении равновесия принимает форму, которая минимизирует его потенциальную энергию. И в теории балок установлено, что эта энергия пропорциональна интегралу по длине дуги от квадрата кривизны сплайна:

 

                                                                             (1)

 

при условиях S(xi) = yi.

 

 

Рис. 4. Очертания сплайна как математического аналога линейки

 

Сплайны можно определить 2-мя способами: исходя из взаимного согласования простых функций и из решения задачи минимизации [].

 

К сплайнам, определяемым по первому способу, можно отнести интерполяционные сплайны, которые необходимы для аналитического представления дискретно заданной информации.

 

Сглаживающие сплайны определяют чаще всего на основе 2-го способа. Именно сглаживающие сплайны должны найти самое широкое применение для оптимизации тех проектных решений, которые на начальной стадии рассмотрения носят, как правило, приближенный характер.

 

В проектной практике применяют, как правило, сплайны 1-й и 3-й степени. Сплайны 1-й степени (линейные) служат, во-первых, хорошей и доступной иллюстрацией к пониманию процессов построения сплайновых алгоритмов, во-вторых, достаточны для описания геометрических элементов дорог, представляемых в виде ломаных линий (магистральные и тангенциальные ходы, продольные и поперечные профили земли и т.д.).

 

Сплайны 1-й степени. Сплайны 1-й степени (ломаные) достаточно просты для понимания и,  в то же, время, отражают основные свойства сплайн-функций. С математической точки зрения, сплайн 1-й степени – это кусочно-непрерывная функция, на каждом отрезке описываемая уравнением вида:

 

                                                   y= ai+ bix,                                           (2)

 

где i – номер рассматриваемого интервала между узлами интерполяции xiи xi+1.

 

Как видно из формулы (2.2), на элементарном  интервале вид уравнения не отличается от общепринятого выражения прямой. В целом, уравнение ломаной (сплайна 1-й степени) в матричной форме можно записать как:

 

                                                            (3)

 

Эта система линейных уравнений не требует совместного решения и распадается на решения каждого уравнения в отдельности. Сплайн, решение которого связано с вычислением подсистем небольшой размерности, в данном случае – уравнений первого порядка, будем называть локальным.

 

Интерполяционный сплайн 1-й степени – это ломаная, проходящая через точки (xi, yi). Для совокупности xi (i = 0, 1,…, n) в интервале [a, b] при этом должно выполняться условие xi < xi+1.

 

Используя полином Лагранжа, можно построить сплайн для интервала i(i+1):

 

                                                         (4)

 

Обозначение S1(x) будем понимать как сплайн-функцию первой степени. Иначе уравнение (2.4) можно записать:

 

                                                                (5)

 

Если принять то форма уравнений (2) и (5) совпадает. Для построения алгоритма и составления процедуры построения и вычисления сплайна необходимо помнить всего лишь 2n+2 числа.

 

Сплайны 3-й степени. Сплайны 3-й степени (кубические) – это кусочно-непрерывная (непрерывность 1-й и 2-й производных) функция,  состоящая из отрезков кубических парабол.

 

В настоящее время существует множество алгоритмов построения и расчета на ЭВМ кубических сплайнов, что обусловлено широким их использованием в решении технических задач, связанных с  интерполяцией кривых и поверхностей.

 

При решении поставленной задачи между n узлами находятся n–1 фрагментов кубических кривых, а кубическая кривая, в свою очередь, определяется 4-мя параметрами. Поскольку значение функции и 1-й, 2-й производных (Xs, X¢s, X²s) непрерывны во всех (n–2)-х внутренних узлах, то имеем 3(n–2) условий. В узлах Xsi= Xi накладываются еще n условий на Xs. Отсюда получаем 4n–6 условий. Для однозначного определения сплайна необходимо еще два условия, которые обычно связываются с так называемыми краевыми (граничными) условиями. Например, зачастую принимается просто . В этом случае получаем необходимое количество условий для определения естественного сплайна в виде:

 

                   (6)

 

Недостатком этого сплайна является то, что у него нет возможности изменения формы на участке между двумя жестко закрепленными интерполяционными точками. Лишь перемещением одной из точек интерполяции можно добиться некоторого изменения формы сплайн-кривой. При этом, в силу того, что кубический интерполяционный сплайн относится к нелокальным методам аппроксимации, его значения в точках, не совпадающих с узлами сетки Δ: a= x0<…<xN = b, зависят от всей совокупности величин fi = f(xi), i= 0, 1 ,…, N, и еще от значений краевых условий в точках a, b; следовательно, желательный эффект изменения формы сплайн-кривой в одном месте интервала интерполяции может перекрываться нежелательными изменениями на всем остальном отрезке.

 

Однако методы борьбы с этим неприятным явлением известны. Это, во-первых, применение локальных интерполяций эрмитового типа, для которых значение сплайна на промежутке между узлами сетки зависит от значений функции и ее производных только из некоторой окрестности этого промежутка.

 

Во-вторых, интерполяция на основе рациональных сплайнов. Сохраняя одно из важнейших свойств кубической сплайн-интерполяции – простоту и эффективность реализации на ЭВМ – рациональные сплайны обладают возможностью приближения функций с большими градиентами или точками излома, при этом устраняя осцилляции, присущие обычному кубическому сплайну.

 

Рациональной сплайн-функцией называют функцию S(x), которая на каждом промежутке интерполяции [xi, xi+1] записывается в виде

 

                            (7)

 

где t = (x-xi)/hi, hi = xi+1-xi, pi, qi – заданные числа, -1 < pi, qi< ∞; и при этом непрерывна вместе со своими первой и второй производными.

 

Из выражения (2.7) видно, что при pi = qi = 0, i = 0, 1,…, N–1, рациональный сплайн превращается в обычный кубический сплайн. Кроме того, можно считать, что сплайн первой степени также является частным случаем кубического сплайна, поскольку при всех pi, qi–>∞, i = 0, 1,…, N–1, справедливо S(x)–>fi(1t)+fi+1t, xÎ[xi, xi+1].

 

Таким образом, можно ожидать, что при использовании рациональных сплайнов путем надлежащего выбора свободных параметров pi, qi достигается высокая точность приближения на участках достаточной гладкости интерполируемой функции, а на участках с большими градиентами удовлетворяются требования качественного характера – выпуклости и монотонности.

 

Использование рациональной сплайн-функции позволяет описать единообразной зависимостью трассу с максимальным приближением к трассе, заданной традиционными элементами. Варьируя значениями коэффициентов pi и qi, имеется возможность полной имитации сплайн-функцией традиционных элементов плана трассы (прямой, круговой кривой, клотоиды).

 Вашему вниманию хочу представить коттеджный поселок на берегу Азовского моря Солнечный берег