Содержание материала

2.        Математическое  и методическое обеспечение (продолжение)

"Слабым" местом в обосновании интерполяционных сплайнов как универсального математического аппарата при трассировании автомобильных дорог является допущение (условие), что узлы интерполяции назначены проектировщиком верно и при вычислении значений самого сплайна корректировке не подлежат.

 

Проанализируем, как на практике назначают местоположение узлов?

Если трассирование выполняется на основе карты или топографического плана, то проводится эскизная линия дороги, которая, по мнению проектировщика,  является наиболее целесообразной при заданных условиях, "от руки" или с помощью механических приспособлений. Далее на эскизной линии фиксируются узлы интерполяции и замеряются их координаты. При этом не существует строго формализованных алгоритмов назначения местоположения узлов, есть лишь ряд практических советов. В частности: частое расположение узлов приводит к осцилляции кривизны такого сплайна ввиду неизбежной погрешности съемки координат узлов интерполяции; редкое их расположение вызывает существенные отклонения сплайн-трассы от порождающей ее эскизной линии.  

 

Если трассирование выполняется по материалам полевых изысканий, то узлами сплайн-интерполяции, в этом случае, являются съемочные точки цифровой модели местности  и погрешность в установлении их координат еще более очевидна ввиду наличия ошибок случайного и систематического характера.

 

Хорошего приближения сплайн-трассы к эскизному варианту и, в то же время, достаточной ее гладкости (плавности) можно добиться, как правило, лишь при многократной интуитивной корректировке проектировщиком узлов интерполяции.

 

Отсюда следует, что интерполяционные сплайны не являются математическим аппаратом оптимального трассирования, а лишь удобным и во многих задачах чрезвычайно эффективным инструментарием компьютерной обработки эскизно назначенных проектных решений. Качество таких решений существенно зависит от квалификации проектировщика.

 

Из вышеприведенных рассуждений вытекает, что постановка задачи трассирования на основе сплайнов должна предполагать следующее: узлы интерполяции эскизной трассы, а в случае реконструкции – исходной трассы, назначаются приближенно (с допуском) и точное их местоположение вычисляется по определенным закономерностям, учитывающим ряд основополагающих целевых установок самого процесса трассирования. В математической терминологии эту задачу можно отнести к задачам генерации геометрических форм по их грубым (приближенным) описаниям или задачам сглаживания.

 

Сглаживающие сплайны. В качестве математического аппарата для решения задачи трассирования дорог применяют сглаживающие сплайны, которые минимизируют функционал вида:

 

                                                    (8)

 

при ограничениях, например,

 

                                    ,                              (9)

 

                                                                 (10)

 

В записи функционала q = 1, 2; S(xi) – сплайн; ri – вeсовой коэффициент узла интерполяции; f0(xi) – функция начального приближения.

 

Ограничения могут быть самыми разными и в случае трассирования дорог это: ограничения по допустимому радиусу, направлению трассы  в плане и  уклону в продольном профиле и т. п. При этом для сплайнов третьей степени должны быть добавлены так называемые "краевые условия" в точках x0 = a, xn= b, обеспечивающие единственность построения сплайна. Например, это могут быть условия заданного начального и конечного направления проектируемого участка трассы S¢(xa), S¢(xb).

 

Из формы записи совместных условий (8) – (10) следует, что это – задача условной оптимизации.

 

Условие (2.9) позволяет смещать узлы интерполяции в установленном коридоре варьирования по заданному алгоритму. Признаком завершения итерационного процесса оптимизации служит выполнение условия  (10) и означает, что на каждом дальнейшем итерационном шаге сдвиг любого из узлов не превысит величины d.

 

Если в условии (2.9) ei = 0, то вновь приходим к понятию интерполяционных сплайнов. Отсюда становится очевидным, что интерполяционные сплайны являются всего лишь частным случаем сглаживающих сплайнов.

 

Выбор сглаживающих сплайнов для дальнейшего подробного рассмотрения только в виде алгебраических полиномов и только 1-й и 3-й степени из всего многообразия обусловлен тем, что это наиболее простые в компьютерной реализации сплайны и, в то же время, имеют достаточные аппроксимативные свойства для описаний очертаний трассы и ее дифференциального анализа. В случае сплайнов 1-й степени этот анализ (1-е  и 2-е производные) можно выполнить в виде разделенных разностей, а для сплайнов 3-й степени – непосредственным дифференцированием функции.

 

Функционал (2.8) хорошо моделирует задачу трассирования дорог при их реконструкции, которая состоит в том, чтобы добиться минимального отклонения проектируемой трассы от существующей, при одновременном условии по уклону и кривизне в продольном профиле,  и по кривизне и скорости нарастания кривизны в плане согласно требованиям СНиП для данной категории дороги. Минимальное отклонение достигается за счет второго слагаемого,  а условия по кривизне и уклону – первого слагаемого функционала (2.8).

 

При совместной минимизации двух слагаемых соотношение между ними регулируется весовыми коэффициентами ri, которые должны быть определенным образом нормированы.

 

Рассмотрим оптимизационные возможности функционала (8) в порядке возрастания его сложности.

 

Второе слагаемое функционала

 

                                                                              (11)

 

известно как метод наименьших квадратов, и оно представляет собой функцию n+1-ой переменной S(xi), i = 0, 1,…, n. Минимизация последней распадается в данном случае на минимизацию отдельных слагаемых независимо по каждой переменной.

 

В случае применения сплайнов 1-й степени первое слагаемое  функционала (8) будет записано, как

 

                                               .                                       (12)

 

Рассмотрим линейное приближение функционала длины дуги кривой

 

                                                           (13)

 

(здесь предполагается, что |S`(x)| мало). Очевидно, что решение задачи о минимизации функционала (2.13) совпадает с решением линеаризованной задачи об отыскании элемента минимальной длины. Полученное решение часто называют сплайном в выпуклом множестве.

 

После подстановки первой производной сплайна, совпадающей в данном случае с разделенной разностью, примет вид

 

                                                          (14)

 

где hi= xi+1xi.

 

Продифференцируем по переменной S(xi) и сложим два последовательных слагаемых уравнения, содержащих эту неизвестную:

 

                              (15)

 

                              (2.16)

 

Приравняв полученную сумму нулю и выразив неизвестное S(xi), получим

 

                                                                  (17)

 

Здесь знак "=" представляет собой оператор присваивания. Если принять шаг интерполяции равномерным, то есть hi=const, то процесс оптимизации (пошаговых итераций) в графической интерпретации будет вполне понятен.

 

Быстрая сходимость итерационного процесса позволяет рекомендовать этот метод для предварительной выработки проектных решений по проектной линии продольного профиля. В этом случае радиус кривизны и уклон проектной линии можно контролировать посредством построения первых и вторых разделенных разностей.

 

 

Рис. 5. Графическая интерпретация сглаживания линейного сплайна

 

Совместное рассмотрение суммы функционалов (2.12) и (2.14) дает нам рекуррентную формулу для оптимизации:

 

                                                   (18)

 

Сходимость итерационного процесса здесь, по сравнению с формулой (17), ниже и существенно зависит от величины ri. Весовой коэффициент riпозволяет замедлять или ускорять итерационный процесс в отдельных точках (узлах) и может, например для проектной линии, служить средством учета объема или стоимости возведения земляного полотна (дорожных работ) на участке единичной длины.

 

Рассмотрим первое слагаемое функционала (2.8) применительно к кубическим сплайнам:

 

                                                .                                       (19)

 

Аналогично, решение задачи о сплайне в выпуклом множестве описывает (в линеаризованной постановке) положение, занимаемое упругой рейкой в коридоре ограничений. При замене второй производной второй разделенной разностью данный функционал примет вид:

 

      (20)

 

где S¢(xa), S¢(xb) – одни из возможных краевых условий кубического сплайна. Применительно к проектной линии – это уклон в начальной (xa) и конечной (xb) точках проектируемого участка дороги.

 

Дифференцирование и суммирование уравнений даст нам соответствующие рекуррентные формулы, которые подробно приведены в специальной литературе.

 

Проектирование закруглений дороги в плане по классической схеме "клотоида – круговая кривая – клотоида" достаточно обоснованно с теоретических позиций, но на практике такая схема имеет множество изъянов и неудобств. Не вдаваясь в их суть, заметим, что если применить какую-либо функцию, которая могла бы одна в какой-то мере моделировать классическую схему (составную кривую), то с позиций удобства алгоритмизации и организации диалога "инженер-компьютер" это было бы достаточно эффективно.

 

В качестве таких функций далее рассматривается подмножество параметрических сплайнов – кривые Безье.

 

Кривые Безье. В 1970г. Пьер Безье (французский математик) подобрал составляющие параметрического кубического многочлена таким образом, что их физический смысл стал очень наглядным и весьма подходящим для решения многих прикладных задач, в том числе и для целей проектирования дорог по принципу "тангенциального трассирования".

 

Формула Безье для кубического многочлена (n = 3) имеет следующий вид.

 

Пусть ri = , i= 0, 1, 2, 3, тогда для 0t1:

 

 

или в матричной форме:

 

.

 

Матрица M называется базисной матрицей кубической кривой Безье.

 

Кривая, представленная в форме Безье, проходит через точки r0 и r3, имеет касательную в точке r0, направленную от r0 к r1, и касательную в точке r3, направленную от r2 к r3.

 

Прямые Р0Р1, Р1Р2 и Р2Р3 образуют фигуру, называемую характеристической (определяющей) ломаной, которая и предопределяет очертания кривой Безье (рис. 2.6).

 

Чтобы построить кривую, задают точки Р0 и Р3, через которые должна проходить кривая, затем на желаемых касательных к этой кривой в точках Р0 и Р3 задают точки Р1 и Р2. Изменяя длины отрезков Р0Р1 и Р2Р3 варьируют очертаниями кривой, придавая ей желаемую форму.

 

 

Рис.6. Сегмент кубической кривой Безье

 

Главной контролируемой величиной при проектировании кривых в плане является радиус кривизны. Для того, чтобы вычислять радиус кривизны в каждой точке кривой, необходимо знать значения первой и второй производных радиуса-вектора точки. Для кубической кривой Безье первая и вторая производные вычисляют по нижеприведенным формулам:

 

,

 

.

 

Тогда кривизна (величина, обратная радиусу кривизны) вычисляется по формуле:

 

.

 

Помимо кривой Безье 3-го порядка (кубической) для целей трассирования дорог возможно применение также кривых Безье 2-го, 4-го и 5-го порядков. Соответствующие формулы для вычисления радиусов-векторов (и их производных) для этих кривых приведены ниже.

 

Кривая Безье 2-го порядка:

 

.

 

Кривая Безье 4-го порядка:

 

.

 

Кривая Безье 5-го порядка:

 

.

 

Объединением элементарных кривых Безье γ(1), γ(2),…, γ(l), у которых концевая точка кривой γ(i), i= 1, 2,…, l1, совпадает с начальной точкой кривой γ(i+1), получается составная кривая Безье. Если каждая кривая γ(i) задается параметрическим уравнением вида

 

r= r(i) (t), 0 ≤ t1,

 

то это условие записывается так:

 

r(i) (1) = r(i+1) (0), i= 1, 2,…, l–1.

 

В частности, для того, чтобы касательная составной кривой Безье, определяемой набором точек P0, P1, …, Pm, изменялась непрерывно вдоль этой кривой, необходимо, чтобы тройки вершин P3i-1, P3i, P3i+1 (i ≥ 1) были коллинеарными, то есть лежали на одной прямой (см. рис. 7).

 

 

Рис. 7.Составная кубическая кривая Безье

 

Пространственные кривые Безье.Выше, в рассуждениях о Безье-кривых понималось плоское расположение опорных точек трассы и, соответственно, рассматривалось представление только плоских кривых. В общем случае  опорные точки характеристической ломаной Безье задаются точками трехмерного пространства Pi(xi, yi, zi), i= 0, 1 ,…, m.

 

Тогда пространственная кривая Безье степени m определяется уравнением, имеющим следующий вид:

 

 

где – многочлены Бернштейна.

 

Матричная запись параметрических уравнений, описывающих пространственную кривую Безье, имеет вид:

 

   0t1,

 

где

 

Методическое обеспечение – совокупность методических материалов, способствующих функционированию САПР.

 

Профессиональные САПР имеют, как правило, методическое сопровождение в виде "Справочных руководств" в бумажном виде. Главное меню таких систем также содержит раздел Справка (Помощь), в котором представлено описание основных проектных процедур.

 

В процессе эксплуатации САПР накапливается опыт рациональной выработки проектных решений на основе всей совокупности инструментальных средств системы. Этот опыт, как правило, излагается в форме "Практических руководств (пособий)" и способствует повышению эффективности и качества инженерного труда.

 

3.        Информационное и организационное обеспечение

 

Информационное обеспечение – это совокупность средств и методов построения информационной базы для целей проектирования.

 

В состав информационного обеспечения входят: государственные стандарты (ГОСТ), строительные нормы (СН), строительные нормы и правила (СНиП), ведомственные строительные нормы (ВСН), типовые проектные решения по сооружениям и элементам автомобильных дорог. Все вышеперечисленные нормативно-информационные материалы существуют в бумажном виде или в виде электронных аналогов.

 

Другая часть информационного обеспечения существует только в электронном виде и является неотъемлемой частью САПР. Это библиотеки условных знаков (см. рис.8), классификаторы и коды, шаблоны типовых элементов в составе графических алгоритмов.

 

 

Рис. 8.Библиотечный условный знак для топографического плана

 

В процессе проектирования  используется также информация регионального характера. К ней относятся сведения  метеорологического и экологического характера, данные о рельефе и геологическом строении местности, сведения о местоположении карьеров грунтов и каменных материалов и др.

 

По другой классификации информацию можно подразделить на входную, промежуточную и выходную. Входная - совокупность исходных данных, необходимых для принятия проектного решения. Промежуточная -  полученная ранее в результате решения одних задач и используемая для решения других, но не окончательные результаты решения задач. Выходная - полученная как результат решения задач и предназначенная для непосредственного использования в проектировании.

 

Организационное обеспечение представляет собой совокупность организационных и технических мероприятий, направленных на повышение эффективности функционирования САПР. К ним относятся: изменение организационной структуры проектной организации, ее отделов и подразделений; перераспределение функций между отделами; изменение технологии проектно-изыскательских работ и кадров состава сотрудников,  повышение квалификации проектировщиков  в сфере САПР, организация и функционирование систем управления качеством проектной  продукции на основе международных стандартов ISO 9001:2000.